Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos

ECUACIONES DIFERENCIALES EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS

ANGIE LISSETH MÉNDEZ LÓPEZ

DOCENTE

JUAN DAVID ROJAS GACHA

UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

Bogotá, DC

2018

Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos

     Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, el comportamiento de los circuitos eléctricos también tiene dos leyes conocidas como Leyes de Kirchhoff, las cuales están basadas en la conservación de la energía en los circuitos eléctricos. Estas leyes son ampliamente usadas en ingeniería eléctrica, ingeniería electrónica e ingeniería de telecomunicaciones para obtener los valores de la corriente y el potencial. Las leyes de Kirchhoff establecen que: “La suma algebraica de todas las corrientes que circulan a través de un nodo es igual a cero” y “La suma algebraica de todos los voltajes alrededor de una malla es igual a cero”.

     En circuitos más complejos que contienen elementos adicionales a resistencias eléctricas (R) como condensadores (C), inductores (L), generadores e interruptores; llamados circuitos RLC. Está constituido por una ecuación diferencial que incluyen una derivada de segundo orden, o dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Además, requieren determinar las condiciones iniciales de las derivadas.

-        Figura 1: Circuito RLC en serie

-        Figura 2: Circuito RLC en paralelo

  

Deducción de la ecuación diferencial de un circuito RLC en paralelo

     Con referencia a la figura 2, se aplica la ley de corrientes de Kirchhoff, obteniendo la siguiente ecuación:

     Se reemplaza en la ecuación anterior los términos correspondientes a cada elemento; donde la corriente en una resistencia está dada al despejar la ecuación de la ley de ohm v = i x R, el voltaje en una inductancia se obtiene con:

 

Obteniendo:

Cuando ambos lados de la ecuación se diferencian una vez respecto al tiempo, el resultado consiste en una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

Solución de la ecuación diferencial

     Para que se satisfaga la ecuación todo el tiempo, al menos uno de los tres factores debe ser cero. Si cualquiera de los primeros dos factores se iguala a cero, entonces v(t) = 0. Ésta es una solución trivial de la ecuación diferencial que no puede satisfacer las condiciones iniciales dadas. Por lo tanto, se iguala a cero el factor restante:

Obtenemos una ecuación cuadrática, hay dos soluciones identificadas,S 1y S 2

Si se sustituye  S 1y S 2 en la ecuación de v:

La primera satisface la ecuación:

Y la segunda la ecuación:

Si se suman estas dos ecuaciones diferenciales y se combinan términos semejantes, se obtiene:

Prevalece la linealidad y se observa que la suma de ambas soluciones también es una solución. Por lo cual, la forma general de la solución es:

Deducción de la ecuación diferencial de un circuito RLC en serie

     Para el circuito de la figura 1, a diferencia de un circuito en paralelo en este es posible obtener la ecuación de la corriente en función del tiempo aplicando las leyes de Kirchhoff. Por lo cual se obtienen las tres formas:

-      La solución para un circuito sobre amortiguado es:

Aplicación Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos

Aplicación para circuito RLC serie

     El Taser o también llamada pistola eléctrica, es un arma de electroshock diseñada para incapacitar a una persona a través de descargas eléctricas, las cuales limitan las señales nerviosas y confunde los músculos motores, inmovilizando al sujeto temporalmente. La policía suele usar este dispositivo para incapacitar a personas potencialmente peligrosas. Este dispositivo genera en vacío 50.000 voltios, al accionarlo hacia un sujeto descarga una serie de impulsos de alto voltaje, aproximadamente 400 voltios y por un arco fluye una pequeña corriente de 1 a 2,1 miliamperios.

     La potencia de los impulsos no es considerada letal para el ser humano según un estudio de Medicina Legal de Málaga en 2004, ya que el efecto letal de la descarga del dispositivo depende de la corriente y no del voltaje. Sin embargo, estos impulsos son suficiente para hacer que los músculos se contraigan y dejar fuera de combate a la persona.

     Se requiere determinar la ecuación de voltaje y la corriente. Donde la resistencia R representa el intervalo de chispa. El circuito del Taser este modelado por un circuito RLC en serie como se muestra a continuación:

 

Aplicación para circuito RLC paralelo

El modelo de un circuito transmisor es:

A través del circuito funciona un sistema de comunicación de una estación espacial que usa pulsos cortos para controlar a un autómata que opera en el espacio. Determine v(t) para t > 0

El primer paso es analizar el circuito en t < 0